Seorang pengembang telah memulai proyek ambisius untuk memformalisasi Principia Mathematica karya Bertrand Russell menggunakan pembuktian teorema Lean4, memicu diskusi tentang tantangan filosofis dan praktis yang melekat dalam usaha tersebut.
Proyek ini bertujuan untuk menerjemahkan bukti logis kompleks Russell ke dalam kerangka komputasi modern, dengan pengembang mencatat bahwa mereka sangat menantikan untuk memformalisasi bukti 1+1 yang terkenal. Saat ini, proyek tersebut tampaknya masih dalam tahap awal, dengan hanya teorema proposisional awal yang telah diselesaikan.
 |
|---|
| Sebuah halaman dari teks matematika yang mengilustrasikan teorema logika formal dan pembuktiannya, mirip dengan yang sedang diformalisasi dari Principia Mathematica karya Russell |
Keterbatasan Filosofis Principia
Diskusi komunitas mengungkapkan ketegangan mendasar di jantung proyek ini. Meskipun implementasi teknis dalam Lean4 mengesankan, beberapa komentator menunjukkan bahwa Principia Mathematica sendiri dianggap oleh beberapa pihak memiliki kecacatan mendasar. Seorang komentator merujuk pada karakterisasi Freeman Dyson tentangnya sebagai kegagalan monumental, menjelaskan bagaimana teorema ketidaklengkapan Gödel secara efektif melemahkan tujuan fundamental Principia.
Principia ditulis selama era Logisis naif dalam filosofi matematika yang tidak dapat memprediksi masalah keterbukaan pondasi serius dalam logika seperti teorema ketidaklengkapan Godel, atau Masalah Penghentian (Halting Problem).
Konteks historis ini sangat penting untuk memahami baik signifikansi maupun keterbatasan proyek formalisasi. Karya Russell dan Whitehead mendahului pemahaman modern kita tentang keterbatasan inheren sistem formal, membuat formalisasi lengkap secara inheren bermasalah.
 |
|---|
| Representasi visual terstruktur dari pembuktian logis, menyoroti kompleksitas dan tantangan filosofis yang dibahas terkait dengan Principia Mathematica |
Pendekatan Filosofis yang Bersaing
Komentar-komentar tersebut menyoroti bagaimana komunitas matematika terpecah menjadi berbagai kubu filosofis setelah tantangan terhadap logisisme muncul. Formalis (mewakili matematika mainstream) mengakui pernyataan yang tidak dapat diputuskan tetapi mempertahankan bahwa kebenaran matematika ada secara independen dari kemampuan kita untuk membuktikannya. Konstruktivis, sebaliknya, menyamakan kebenaran matematika dengan kemampuan pembuktian, menolak hukum tengah yang dikecualikan Aristoteles dan membangun matematika pada dasar logika alternatif.
Perbedaan filosofis ini tidak hanya bersifat akademis—mereka secara langsung mempengaruhi bagaimana seseorang mungkin mendekati formalisasi Principia. Pengembang proyek ini pasti akan menghadapi keputusan tentang bagaimana menangani pernyataan yang Gödel buktikan tidak dapat diputuskan dalam sistem itu sendiri.
Pendekatan Filosofis Utama terhadap Dasar-Dasar Matematika
- Logisisme: Berupaya menurunkan seluruh matematika dari logika murni (pendekatan Russell)
- Formalisme: Mengakui pernyataan yang tidak dapat diputuskan tetapi mempertahankan bahwa kebenaran matematika ada secara independen
- Konstruktivisme: Menyamakan kebenaran matematika dengan kemampuan pembuktian, menolak hukum pengecualian tengah
Status Proyek
- Kemajuan saat ini: Baru teorema proposisional awal saja
- Tujuan: Penyelesaian formalisasi volume pertama dari Principia Mathematica
- Target penting: Pembuktian "1+1"
Implementasi Teknis dan Alat
Terlepas dari tantangan filosofis ini, aspek teknis proyek menunjukkan harapan. Pengembang telah mengimplementasikan taktik khusus dalam Lean4 untuk mencerminkan notasi Russell, khususnya untuk penalaran silogistik. Perhatian untuk mempertahankan kesetiaan pada karya asli sambil memanfaatkan kemampuan pembuktian teorema modern menunjukkan pendekatan yang bijaksana.
Beberapa komentator menyarankan alat alternatif seperti Naproche yang mungkin cocok untuk jenis pekerjaan formalisasi ini. Ini menyoroti ekosistem verifikasi formal dan alat pembuktian teorema yang berkembang yang tersedia untuk matematikawan dan ilmuwan komputer modern.
Proyek ini, meskipun masih dalam tahap awal, merepresentasikan persilangan menarik antara matematika historis, filosofi logika, dan pendekatan komputasi modern untuk verifikasi formal. Entah akhirnya berhasil dalam tujuan ambisius atau tidak, proyek ini memberikan wawasan berharga tentang kekuatan dan keterbatasan sistem formal dalam matematika.
Referensi: Formalizing Bertrand Russell's Principia Mathematica Using Lean4